证明若f(x)

证明题：若f(x)在[0，π] 上可导，证明存在ξ，满足等式？

F(x)=f(x)(sinx)^2; F'(x)=f'(x)(sinx)^2+f(x)(2sinxcosx); 由条件易知，F(x)在[0,π]上连续，（0，π）上可导，于是： 存在ξ∈(0,π),使得f'(ξ)sinξsinξ+2f(ξ)cosξsinξ=0; sinξ不为零，则： 存在ξ∈(0,π),使得f'(ξ)sinξ+2f(ξ)cosξ=0。 这个题不是很难，可能你对中值定理这块的导函数变形不是很熟悉，再看看吧。稍微刷刷题效果可能比较好。

证明:若f(x)在x.的某邻域内有二阶连续导数当h充分小时,f(x.)<1/2[f(x.+h)+f(x.-h)]恒成立,试证f''(x.)>=0

假设f``(x)<0,则f`(x)在x的这个领域内单调减少不妨设x>0,h>0(若x<0,取h<0) f(x+h)-f(x)=f`(a)x a属于(x,x+h) f(x)-f(x-h)=f`(b)x b∈(x-h,x) 两式相减有f(x+h)+f(x-h)-2f(x)=[f`(a)-f`(b)]x<0(根据f`(x)的单调性f`(a)=0

证明：若函数f(x)在(-∞,+∞)内满足等式f'(x)=f(x)且f(0)=1，则f(x)=e∧x

设g(x)=e^(-x)·f(x)

则g'(x)≡0

∴ g(x)=C

又g(0)=f(0)=1

∴ C=1

于是，g(x)≡1

∴ f(x)=e^x

证明：若函数f（x）在（-∞，+∞）内满足f’（x）=f（x）

令 g(x) = e^(-x) f(x) 则 g'(x) = e^(-x) ( f'(x)-f(x) ) =0 这说明 g(x) = e^(-x) f(x) = C 为常数函数 而 g(x) = f(0) =1 =C 所以 g(x) = e^(-x) f(x)=1 即 f(x)=e^x 如果你学过微分方程，直接解方程也可以得到答案。

证明f（x）

f((x1+x2)/2) =a(x1/2+x2/2)+b =ax1/2+b/2+ax2/2+b/2 =(f(x1)+f(x2))/2 g((x1+x2)/2)-(g(x1)+g(x2))/2 =( (x1+x2)^2/4+a(x1+x2)/2+b )-(x1^2+ax1+b)/2-(x2^2+ax2+b)/2 =1/4( x1^2+x2^2+2x1x2-2x1^2-2x2^2) =-1/4(x1^2-2x1x2+x2^2) =-1/4(x1-x2)^2<=0 所以g【（x1+x2）/2】<=【g（x1）+g（x2）】/2 当且仅当x1=x2的时候等号成立