函数f(x,y)在点O(0,0)处______,麻烦对每个选项单独分析一下。
- 教育综合
- 2023-04-28 07:56:56
二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是
D、lim【f´x (x,0)-f´x(0,0)】=0 （x→0)，且lim【f´y（0,y)-f´y(0,0)】=0 (y→0)
二元函数可微的充分条件是：若偏导存在某邻域内存在，且偏导在该点连续，则函数在该点处可微。
与自变量x、y的一对值（即二元有序实数组）（x，y）相对应的因变量z的值，也称为f在点（x，y）处的函数值，记作f（x，y），即z=f（x，y）.函数值f（x，y）的全体所构成的集合。
扩展资料：
若对于点M0，任意的δ>0都使Uδ（M0）中既有E之点，又有非E之点，即对任意δ>0，Uδ（M0）∩E≠Ø且Uδ（M0）⊄E，则称M0为E之边界点。
在有界闭区域D上的二元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。在有界闭区域D上的二元连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。在有界闭区域D上的二元连续函数必定在D上一致连续。
函数f（ x， y）在点（0，0）处可微吗？
二阶可微定义公式：Δy/Δx=lim(Δx->0)(f(0+Δx)-f(0))/Δx=A。
二元函数可微的定义是函数z=f（x，y）在点（x，y）的全增量Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）可以表示成Δz=AΔx+BΔy+o（ρ）。令x=y=0，则全增量Δz=f（Δx，Δy）-f（0，0），将符号Δx，Δy换成x，y来表示。
则该题中（x，y）→（0，0）时函数f（x，y）的Δz=f（x，y）-f（0，0）=-2x+y+o（ρ），符合定义的要求，所以f（x，y）在点（0，0）处可微。
必须注意
所谓二重极限存在，是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）都无限接近于A。因此，如果P（x，y）以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0（x0，y0）时，即使f（x，y）无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。
但是反过来，如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。
设函数f(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，且fx(0，0)=3，fy(0，0)=-1，则：
理由如下：
A：f(x,y)不一定可微。
B：曲面: z-f(x,y)=0 在(0,0)点上的法向量为(-f’x,-f’y,1)=(-3,1,1) 。
C：该曲线在点(0,0)处切向量为：
曲面：z-f(x,y)=0 在点(0,0)处法向量n=（-3,1,1)。
与曲面：y=0 在点（0,0)处法向量m=（0,1,0)的叉乘n✖️m=（1,0,3) 。
公理
邻域公理是现代数学拓扑结构的基础概念，是定义拓扑的五套等价公理之一。这套公理直接定义了空间上的整套领域系，而非简单定义某个点的邻域。映射U即是将x映射至x邻域组成的集合。
U1：若A是x的邻域，则x属于A。这是显然的。
U2：若A和B都是x的邻域，则A和B的交集也是x的邻域。即邻域对于有限交运算封闭。
U3：若A是x的邻域，则所有包含A的集合都是x的邻域。
U4：若A是x的邻域，则存在一个被A包含的集合B（可以相等），使得B是其中所有点的邻域。换言之，若x有一个邻域，那么一定可以将其缩小，缩小到它是其中所有点的邻域。
