(2)如图，正方形ABCD中，若∠EAF■45°， FA平分∠DFE，则EF-DF - BE.
- 教育综合
- 2023-01-26 07:56:14
如图,正方形ABCD中,∠EAF=45°,求证 EF=BE+DF
你好：
证明：在CB的延长线上取点G，使BG＝DF，连接AG
∵正方形ABCD
∴AB＝AD，∠D＝∠ABG＝∠BAD＝90
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD-∠EAF
∵∠EAF＝45
∴∠BAE+∠DAF＝45
∵BG＝DF
∴△ABG≌△ADF （SAS）
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF
∴∠GAE＝∠BAE+∠BAG＝∠BAE+∠DAF＝45
∴∠GAE＝∠EAF
∵AE＝AE
∴△AEG≌△AEF （SAS）
∴EF＝GE
∴GE＝BE+BG＝BE+DF
∴EF＝BE+DF
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如图，已知正方形ABCD中，角EAF=45°，求证：EF=BE+DF。
证明：在CB的延长线上取点G，使BG＝DF，连接AG ∵正方形ABCD ∴AB＝AD，∠D＝∠ABG＝∠BAD＝90 ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD-∠EAF ∵∠EAF＝45 ∴∠BAE+∠DAF＝45 ∵BG＝DF ∴△ABG≌△ADF （SAS） ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF ∴∠GAE＝∠BAE+∠BAG＝∠BAE+∠DAF＝45 ∴∠GAE＝∠EAF ∵AE＝AE ∴△AEG≌△AEF （SAS） ∴EF＝GE ∴GE＝BE+BG＝BE+DF ∴EF＝BE+DF如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．
延长CB到点G，使BG＝DF，连结AG， ∵正方形ABCD，∴AD＝AB，∠D＝∠ABG＝90°． DF＝BG，∴△ADF≌△ABG，∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG． ∵∠DAF＋∠BAE＋∠EAF＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠DAF＋∠BAE＝45°，∴∠BAE＋∠BAG＝45°． 即∠EAG＝45°，∴∠EAG＝∠EAF． 又AE＝AE，∴△EAF≌△EAG． ∴EF＝EG，又∵EG＝EB＋BG＝EB＋DF， ∴EF＝BE＋DF． 评析：本题实质是将△ADF以点A为旋转中心顺时针旋转90°到△ABG的位置，这样能将分散的线段BE、DF集中到一条线段上．已知如图四边形ABCD是正方形,∠EAF=45°.求证:BE+DF=EF（图中没有△AGB）
延长CD至G，使DG=BE；连接AG。∵四边形ABCD是正方形。
∴∠ADC=90°。AB=AD
∴∠ADG=90°
在△ABE和△ADG中AB=AD，∠B=∠ADG，BE=DG
∴△ABE≌△ADG（SAS）
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG
∵∠BAE∠FAD=90°-∠EAF=90°-45°=45°
∴∠DAG∠FAD=45°=∠GAF
在△AEF和△AGF中AE=AG，∠EAF=∠GAF=45°，AF=AF
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴EF=GF
∵GF=DGFD=BEFD
∴EF=BEFD
三角形的性质：
（1）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等。
（2）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
（3）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
（4）三角形的三条高或它们的延长线的交点叫做三角形的垂心。
（5）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。
（6）三角形斜边上的高等于斜边的一半。
