△ABC的内切圆分别与BC，CA，AB相切于D，E，F，DP⊥EF于P.求证：PD平分∠BPC

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F（1）求证：四边形ODCE是

（1）证明：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，OF⊥AB，
∴∠OED=∠ODE=90°，OE=OD，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE是正方形；

（2）解：BC=5，AC=12，由勾股定理得：AB=13，
连接OA、OB、OC、OF，
∵S_△ABC=S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC，
∴

1

2

AC×BC=

1

2

×AB×OF+

1

2

AC×OE+

1

2

BC×OD，
∴5×12=13R+12R+5R，
∴R=2．
答：R的值是2．

已知,如图,在三角形ABC中,内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,求证:∠FDE=90°-1/2∠A

证明： ∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F ∴BF=BD【从圆外一点引圆的两条切线长相等】 ∴∠BDF=∠BFD=（180º-∠B）÷2=90º-½∠B ∵CD=CE ∴∠CDE=∠CED=（180º-∠C）÷2=90º-½∠C ∴∠FDE=180º-∠BDF-∠CDE=180º-（90º-½∠B）-（90º-½∠C） =½∠B+½∠C=½（∠B+∠C） =½（180º-∠A） =90º-½∠A

如图，△ABC中，内切圆O和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则以下四个结论中，错误的结论是（　　）A．

解：（1）AC=4，AD=3，⊙O的半径长为1．
（如图1，连接AO、DO．设⊙O的半径为r．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=

AB2?BC2

=4，
则⊙O的半径r=

1

2

（AC+BC-AB）=

1

2

（4+3-5）=1；
∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CF=OF=1；
又∵AD、AF是⊙O的切线，
∴AF=AD；
∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，即AD=3）；

（2）①如图1，若点P在线段AC上时．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△ACB，
∴

PH

BC

=

AP

AB

=

AC?PC

AB

，
即

x

3

=

4?y

5

，
∴y=-

5

3

x+4，即y与x的函数关系式是y=-

5

3

x+4（0≤x≤2.4）；
②同理，当点P在线段AC的延长线上时，△AHP∽△ACB，
则

PH

BC

=

AP

AB

=

AC+PC

AB

，
即

x

3

=

4+y

5

，
∴y=

5

3

x-4，即y与x的函数关系式是y=

5

3

x-4（x＞2.4）；

（3）①当点P在线段AC上时，如图2，P′H′与⊙O相切．
∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，
∴四边形OMH′D是正方形，
∴MH′=OM=1；
由（1）知，四边形CFOE是正方形，
CF=OF=1，
∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；
又由（2）知，y=-

5

3

x+4，
∴y=-

5

3

x+4，
解得y=

3

2

．
②当点P在AC的延长线上时，如图，P″H″与⊙O相切．此时y=1．