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如图，在○O中，直径AB⊥弦CD于点G，E为DC延长线上一点，BE交○O于点F

教育综合
2022-10-24 07:56:20

如图,圆o中,直径ab垂直cd,e为dc延长线上一点,be交圆o于f,求证:角efc=bfd

证明：

连接AF

∵AB是⊙O的直径

∴∠AFB=90°=∠AFE

∵AB⊥CD

∴弧AC=弧AD（垂径定理：垂直弦的直径平分弦，及弦所对的两条弧）

∴∠AFC=∠AFD（等弧对等角）

∴∠AFE-∠AFC=∠AFB-∠AFD

即∠EFC=∠BFD

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，F为CD延长线上一点，AF交⊙O于点G．求证：AC 2 =AG?AF

%20%20%20AC%20%20%20%20%20%20

证明：连接AD、CG，如图

%20%20
∵直径AB⊥CD，
∴弧AD=弧AC，
∴∠ADC=∠ACF，
∵∠AGC=∠ADC，
∴∠ACF=∠AGC
而∠FAC=∠CAG，
∴△ACG%20∽%20△AFC，
∴%20%20

%20AG

%20=%20%20%20%20AF%20%20%20%20AC%20%20%20%20%20，
∴AC^%202%20=AG?AF．%20%20%20

如图,在圆O中,半径OB⊥弦CD于H,E为OB延长线上的一点,CE交圆O于F

(1)证明：连结BD。%20因为%20半径OB垂直于弦CD于H，%20所以%20弧BC=弧BD%20所以%20角BOD=2角BDC（在同圆中，等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍）%20又因为%20角BFE=角BDC（圆内接四边形的外角等于它的内对角）%20所以%20角BOD=2角BFE。%20（2）解：设BF垂直于DE的垂足为G。%20因为%20OB垂直于CD于H%20所以%20角EGB=角EHD，DH=CH=CD/2=3，%20又因为%20角BEG=角DEH，%20所以%20三角形BEG相似于三角形DEH，%20所以%20BE/DE=BG/DH，%20所以%20BG*DE=BE*DH=15

已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，F是DC延长线上的一点，FA、FB与⊙O分别交于M、G，GE与⊙O交于N．（1）

解答：（1）证明：连接AG，则∠AGF=∠AEF=90°，
∴AF的中点到A、E、G、F四点的距离相等，即A、E、G、F四点在同一个圆上．
∴弦FG所对的圆周角∠FAG=∠FEG．
∵∠BAG+∠ABG=∠BFE+∠FBE=90°，
∴∠BAG=∠BFE．
∵∠BGN=∠BFE+∠FEG，而∠BAM=∠FAG+∠BAG，
∴∠MAB=∠NGB．
∵∠NGB=∠NAB，
∴∠MAB=∠NAB．
∴AB平分∠MAN．

（2）解：连接OC、BM，
∵OC=5，CE=3，
∴在Rt△OEC中得OE=4．
∴AE=9．
在Rt△AEF，EF=6，
∴AF=3

．
∵AB=10，由Rt△ABM∽Rt△AFE得

，
∴AM=

AB?AE

．
∵AB平分∠MAN，
∴AN=AM=

．

已知AB是圆o的直径，弦CD⊥AB于E，F是DC延长线上的一点，FA、FB与圆O分别交于M、G，GE与圆O交于N

（1）连接AG，则∠AGF=∠AEF=90°， ∴AF的中点到A、E、G、F四点的距离相等，即A、E、G、F四点在同一个圆上． ∴弦FG所对的圆周角∠FAG=∠FEG．同理∠EAG=∠EFG ∵∠BGN=∠BFE+∠FEG，而∠MAB=∠FAG+∠BAG， ∴∠MAB=∠NGB． ∵弧BN=弧BN ∴∠NGB=∠NAB， ∴∠MAB=∠NAB． ∴AB平分∠MAN．（2）连接OC、BM， ∵OC=5，CE=3， ∴在Rt△OEC中得OE=4． ∴AE=9．在Rt△AEF，EF=6， ∴AF=3√13 ∵AB=10，又∵∠BAM=∠FAE，∠AMB=∠AEF ∴Rt△ABM∽Rt△AFE

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