在如图所示的三角形ABC中，AC=BC，∠C=90°，点M、N分别是边AC和BC的中点，点D在射线B

在△ABC中，AC=BC，∠C=90，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，

如图：BS平行AC，PT垂直CS，点P、S、B、T四点共圆，得角PTS=角PBS=45度，得三角形PST为等腰直角三角形，得PS=PT

对直角三角形MPN和三角形CPT，因为角MNP=角MNC=角CTP，所以两三角形相似，得MP：NP=PC：PT，即MC：NC=PC：PS，

又因为AC平行BC，得PC：PS=PA：PB，所以MC：NC=PA：PB

第二种证法，作PS垂直BC，在BC上取点T，使得PT=PN

对三角形AMP和三角形BTP，因为角A=角B，角BTP=180度- 角PTC=180度-PNB=180度-PMC=角AMP，所以两三角形相似，得PM：PT=PA：PB，即MC：NC=PA：PB

如图，在三角形ABC中，角C=90度，AC=BC，点D是AB边的中点，点E，F分别是AC，BC上的点

解：连接AD∵在三角形ABC中,角C=90度,AC=BC,点D是边AB的中点∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB=1/2AB=1/2×2=1﹙㎝﹚，∠ACD＝∠BCD＝∠A=∠B=45° ∵AE＝CF ∴△ADE≌△CDF ∴四边形CEDF的面积＝△ACD的面积=1/2×△ABC的面积=1/2×1/2×2×1=1/2﹙㎝²﹚ ∵AC=BC，AB=2㎝，∴AC＝BC=√2㎝﹙根据勾股定理﹚ ∵ AE=CF，AE:EC=1:3∴EC=3√2/4，CF＝√2/4 △CEF的面积=1/2×3√2/4×√2/4=3/16 △DEF的面积=四边形CEDF的面积－△CEF的面积=1/2-3/16=5/16

三角形ABC是等腰直角三角形,角C=90°,点M,N分别是边AC,BC中点,点D在取线BM上且BD=

证明：假设等腰直角三角形的边长为2a,则AC=BC=2a 点M,N分别是边AC,BC中点 BM=√5a(注：根号5×a) 过点E作EF⊥BC于F,交BD于G ∵∠C=90° ∴AC∥EF ∵EN=2NA ∴FN=2CN =2a EF=2AC=4a FB/BC=3/2 ∵CM∥FG ∴ FG/CM=BG/BM=FB/BC=3/2 ∴FG=3/2×a EG=5/2×a BG=3/2×√5×a DG=1/2×√5×a ∵EG:BG=(5/2×a):(3/2×√5×a)=√5:3 DG:FG=(1/2×√5×a):(3/2×a)=√5:3 ∴ EG:BG=DG:FG 又因为∠DGE=∠FGB △EDG

如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB的中点

⑴连接CD，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，

∵D为AB中点，∴AD=BD=CD，CD⊥AB，

∠DCA=∠DBC=45°，

在ΔDAE与ΔDCF中：

DA=DC，∠A=∠DCF=45°，AE=CF，

∴ΔDAE≌ΔDCF，

∴∠ADE=∠CDF，

∵∠ADE+∠CDE=90°，∴∠CDF+∠CDE=90°，

∴DE⊥DF。

⑵同样成立。

DA=DC，∠DAE=∠DCF=135°，AE=CF，

∴ΔDAE≌ΔDCF，

∴∠ADE=∠CDF，

∵∠ADE+∠CDE=90°，∴∠CDF+∠CDE=90°，

∴DE⊥DF。

在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为AB中点,M,N分别在BC,AC上，且BM=CN求证DM=DN

证明：

连接CD

∵∠ACB=90°，AC=BC

∴∠A=∠B=45°

∵D是AB的中点

∴CD=BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

∴∠DCB=∠B=45°

则∠DCN=90°-∠DCB=45°

∴∠DCN=∠B

又∵CN=BM，CD=BD

∴△DCN≌△DBM（SAS）

∴DM=DN