xy’’＋(y’)^2＝1，过(0，1)，且在此点导数为-1，求此方程，求用可降解微分方程方法写

求y"=y'+x^2经过点（1，0）且在此点的切线与直线y=3x-3垂直的积分曲线

先求方程的通解y"-y'=x^2, y"-y'=0的通解是y=c1e^x+c2, 再求方程的一个特解,可用算子法,(D^2-D)y=x^2 y=x^2/(D^2-D)=(-D-1-1/D)x^2 =-x^3/3-x^2-2x 所以原方程的通解是y=c1e^x+c2-x^3/3-x^2-2x 经过(1,0)点,这一点切线的斜率是-1/3 0=c1e+c2-1/3-1-2 ec1+c2=10/3 y'=c1e^x-x^2-2x-2 -1/3=ec1-5 c1=14/3e c2=-4/3 所以方程的积分曲线是y=14e^(x-1)/3-x^3/3-x^2-2x-4/3

求微分方程xy"+2y'=1满足条件y(1)=2y'(1),且当x趋于0时,y有界的特解

解：∵xy'-y=y^2 ==>(xy'-y)/y^2=1 ==>1+(y-xy')/y^2=0 ==>1+d(x/y)/dx=0 ==>dx+d(x/y)=0 ==>∫dx+∫d(x/y)=0 ==>x+x/y=C (C是积分常数) ==>x(y+1)=Cy ∴此方程的通解是x(y+1)=Cy ∵y(1)=1 ∴代入通解，得C=2 故所求特解是x(y+1)=2y。

试求XY"=Y'+(X的平方)经过点(1,0),且在此点的切线与直线Y=3X-3垂直的积分曲线

先解微分方程： xy''=y'+x² 令y'=p，则xp'=p+x²，一阶线性微分方程，套公式 p'-p/x=x p=e^(∫1/xdx)[∫ xe^(∫-1/xdx) dx +C1] =e^(lnx)[∫ xe^(-lnx) dx +C1] =x(∫ 1 dx+C1) =x²+C1x 即：y'=x²+C1x （1） y=(1/3)x³+(1/2)C1x²+C2 由于曲线过(1，0）点，则y(1)=0 代入得：1/3+(1/2)C1+C2=0 y=3x-3的斜率为3，本曲线切线与它垂直，则切线斜率为-1/3 即y'(1)=-1/3，代入（1）得：1+C1=-1/3 解得：C1=-4/3，C2=

求(xy"'-y")^2=y"'^2+1 通解，要过程哦 微分方程

求(xy"'-y")^2=y"'^2+1 考虑齐次方程： 求(xy"'-y")^2=y"'^2 两边开方： xy"'-y"=y"'（1） 或 xy"'-y"=-y"'（2） （1）的求解： （x-1）y'''=y'' dy''/y''=1/x-1 lny''=ln[C1(x-1)] y''=C1(x-1)=C1x-C1 y'=C1x²/2-C1x+C2 y=C1x³/6-C1x²/2+C2x+C3 （2）的解：上面x-1换成x+1即可： lny''=ln[C1(x+1)] y''=C1(x+1)=C1x+C1 y'=C1x²/2+C1x+C2 y=C1x³/6+C1x²/2+C2x+C3 然后

大学数学微分方程:(1-x^2)y'+xy=1，y(0)=1，求其特解。

解：∵(1-x²)y'+xy=0 ==>dy/y=-xdx/(1-x²) ==>dy/y=(1/2)d(1-x²)/(1-x²) ==>ln│y│=(1/2)ln│1-x²│+ln│C│ (C是积分常数) ==>y=C√(1-x²) ∴齐次方程(1-x²)y'+xy=0的通解是y=C√(1-x²) (C是积分常数) 于是，设微分方程(1-x²)y'+xy=1的解为 y=C(x)√(1-x²) (C(x)是关于x的函数) ∵y'=C'(x)√(1-x²)-C(x)x/√(1-x²) 代入原方程得C'(x)=1/√(1-x²)³ ∴C(x)=∫dx/√(1-x²)³ =∫costdt/cos³t